Учебник по теории вероятностей
1.4. Сложение и умножение вероятностей
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A \subset B$.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
$$P(A+B)=P(A)+P(B).$$Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
$$P\left(\sum_{i=1}^{n}A_i \right)=\sum_{i=1}^{n} P(A_i).$$Если случайные события $A_1, A_2, ..., A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство $P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B).$$События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
$$P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B).$$Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.
Онлайн калькулятор для суммы и произведения вероятностей
Примеры решений задач с событиями
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, 
;
- вынули черный шар из первого ящика, 
;
В – белый шар из второго ящика, 
;
- черный шар из второго ящика, 
.
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий 
или 
. По теореме об умножении вероятностей
, 
.
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.
Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Решение.
Пусть А – попадание первого стрелка, 
;
В – попадание второго стрелка, 
.
Тогда 
- промах первого, 
;
- промах второго, 
.
Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание, 
б) – двойной промах, 
.
в) А+В – хотя бы одно попадание,
.
г) 
– одно попадание,
.
См. обучающую статью "решение задач о стрелках"
Пример. Решить задачу, применяя теоремы сложения и умножения. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,4, второй - 0,6, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены: а) ни один станок не потребует внимания мастера, б) ровно 1 станок потребует внимания мастера.
Решение.
Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение смены), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,4$, $p_2=0,6$, $p_3=0,3$. Тогда $q_1=0,6$, $q_2=0,4$, $q_3=0,7$.
Найдем вероятность события $X$=(Ни один станок не потребует внимания в течение смены):
$$ P(X)=P\left(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3}\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,6\cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,168. $$Найдем вероятность события $Z$= (Ровно один станок потребует внимания в течение смены):
$$ P(Z)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P\left(\overline{A_1} \right) \cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 =\\ = 0,4\cdot 0,4 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,6 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,436. $$См. обучающую статью "решение задач о станках"
Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
Решение.
А – формула содержится в первом справочнике;
В – формула содержится во втором справочнике;
С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
1. 
2. 
.
3. 
Вероятность наступления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?
Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, ..., A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
$$ P(A)=1-P\left(\overline{A_1}\right)\cdot P\left(\overline{A_2}\right)\cdot ... \cdot P\left(\overline{A_n}\right)= 1-q_1 \cdot q_2 \cdot ... \cdot q_n. $$Если события $A_1, A_2, ..., A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:
$$ P(A)=1-(1-p)^n=1-q^n. $$Примеры решений на эту тему
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события 
(попадание первого орудия), 
(попадание второго орудия) и 
(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:
, 
, 
Искомая вероятность 
.
Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: 
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна 
Искомая вероятность 
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула 
.
Приняв во внимание, что, по условию, 
(следовательно, 
), получим
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:
Итак, 
, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
Полезные ссылки
- Далее: Условная вероятность
- Назад: Геометрическое определение вероятности
- Примеры на теоремы сложения и умножения вероятностей
- Задачи про вероятность и электрические цепи
- Учебник по теории вероятностей
- Формулы по теории вероятностей
