Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель
В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про бросание игральных костей и задачи о подбрасывании монет.
Перейдем еще к одному типу задач: про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.
Основной метод решения подобных задач - использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. А перед примерами вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик! Удобно решать самому? Посмотрите видеоурок и скачайте бесплатный шаблон Excel для решения задач о выстрелах.
Онлайн решение задачи про попадание в цель
Выберите количество стрелков и затем введите в поля вероятности $p_i$ их попаданий в цель (десятичный разделитель - точка):Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач с выстрелами: как использовать Excel для решения типовых задач с 2, 3 и 4 стрелками (выстрелами).
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать.
Два стрелка
Начнем традиционно с более простых задач, а именно, с двух стрелков. Пусть первый стрелок попадает в цель с вероятностью $p_1$, а второй - с вероятностью $p_2$ (конкретные числа см. в примерах ниже). Соответственно, сразу можно сделать вывод, что промахиваются они с вероятностями $q_1=1-p_1$ и $q_2=1-p_2$.
Чтобы иметь возможность оперировать с событиями, нужно сначала их (события) ввести. Кстати, сразу заметим, что события эти независимые (то есть вероятность попадания первого стрелка не зависит от того, как стреляет второй и наоборот). Итак, пусть:
Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),
Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель).
Соответственно, события $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ обозначают промах первого и второго стрелка (не попал в цель).
Сразу можно выписать все, что нам стало известно к этому времени о данных событиях, в терминах теории вероятности (так сказать, формализуем задачу, чтобы легче было ее решать дальше):
$$
P(A_1)=p_1, \quad P(A_2)=p_2, \quad P\left(\overline{A_1}\right)=1-p_1=q_1, \quad P\left(\overline{A_2}\right)=1-p_2=q_2.
$$
Теперь можно переходить к подсчету вероятностей попаданий. Например, пусть событие $X$ =(При двух выстрелах не было ни одного поражения цели). Вопрос, когда такое случится? Ясно, что когда ни первый стрелок, ни второй не попадут в цель, то есть одновременно произойдут события $\overline{A_1}$ и $\overline{A_2}$, что можно записать как произведение событий: $X=\overline{A_1} \cdot \overline{A_2}$. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей, или: $$ P(X)=P\left(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2}\right)= P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P\left(\overline{A_2}\right) = q_1 \cdot q_2. \qquad (1) $$
Рассмотрим еще одно событие $Y$ =(При двух выстрела ровно один стрелок попадет в цель). Как можно записать это событие через уже известные нам $A_1$ и $A_2$? Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$) и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $\overline{A_2}$), то есть получили произведение событий $A_1 \cdot \overline{A_2}$.
2. Когда второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$) и одновременно с этим первый стрелок промахнется (событие $\overline{A_1}$), то есть получили произведение событий $\overline{A_1} \cdot A_2$.
Так как других вариантов для получения одного попадания нет, а эти два варианта - несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
$$
P(Y) = P\left(A_1 \cdot \overline{A_2} + \overline{A_1} \cdot A_2\right)= P\left(A_1 \cdot \overline{A_2} \right)+ P\left( \overline{A_1} \cdot A_2\right) =
$$
дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки:
$$
= P(A_1) \cdot \left(\overline{A_2} \right) + P\left( \overline{A_1} \right) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2.
$$
Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного попадания в цель:
$$
P(Y) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2. \qquad (2)
$$
Если вы одолели последние пару абзацев, дальше все будет проще, поверьте:). Просто нужно привыкнуть к формулам, а потом они сами будут подсказывать вам верный ход решения.
Ну и наконец, найдем вероятность события $Z$ = (Оба стрелка попадут в цель), которое, как вы наверное и сами уже поняли, можно выразить так: $Z = A_1 \cdot A_2$. Итоговая формула: $$ P(Z) = P(A_1 \cdot A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)= p_1 \cdot p_2. \qquad (3) $$
Большая теоретическая часть окончена, теперь можно решать примеры как орешки.
Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго - 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?
Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию $p_1=0,6$, $p_2=0,7$, значит $q_1=1-p_1=0,4$, $q_2=1-p_2=0,3$. Получаем: $$ P = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2 = 0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 = 0,46.$$
Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.
Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи $p_1=0,7$, $p_2=0,8$ и сразу получим ответ: $$ P = p_1 \cdot p_2=0,7 \cdot 0,8 = 0,56. $$
Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.
На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу "хотя бы один..." мы помимо основного события: $Q$ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие $\overline{Q}$ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше: $$ P(\overline{Q}) = q_1 \cdot q_2= (1-0,3) \cdot (1-0,4) =0,7 \cdot 0,6 = 0,42. $$ Вероятность нужного нам события тогда равна: $$ P(Q) = 1- P(\overline{Q}) = 1 - 0,42 = 0,58. $$
Три стрелка
К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача - вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.
Начало одинаковое - формализуем задачу и вводим независимые события:
Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),
Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель),
Событие $A_3$ = (Третий стрелок попал в цель).
Известно, что:
$$
P(A_1)=p_1, \quad P(A_2)=p_2, \quad P(A_3)=p_3, \\ P\left(\overline{A_1}\right)=1-p_1=q_1, \quad P\left(\overline{A_2}\right)=1-p_2=q_2, \quad P\left(\overline{A_3}\right)=1-p_3=q_3.
$$
Вероятность того, что не будет ни одного попадания, вычисляется абсолютно аналогично случаю для двух стрелков, только добавляется третий сомножитель (см. формулу (1)), так как все трое должны промахнуться: $$ P_0=P\left(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3}\right)= P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P\left(\overline{A_2}\right) \cdot P\left(\overline{A_3}\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3. \qquad (4) $$
Найдем вероятность события $X_1$ = (Из трех стрелков в цель попал только один). Опять таки, когда может произойти это событие? Опишем словами возможные ситуации:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$), и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $\overline{A_2}$) и третий стрелок промахнется (событие $\overline{A_3}$), то есть получили произведение событий $A_1 \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3}$.
2. Второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$), а первый и третий промахнутся, то есть $\overline{A_1} \cdot A_2 \cdot \overline{A_3}$
3. Третий стрелок попадет в цель (событие $A_3$), а первый и второй промахнутся, то есть $\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot A_3$
Итого событие можно представить как сумму этих трех несовместных сложных событий:
$$
X_1= A_1 \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3} + \overline{A_1} \cdot A_2 \cdot \overline{A_3} + \overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot A_3.
$$
Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, придем к итоговой формуле:
$$
P_1 = P(X_1)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P\left(\overline{A_1} \right) \cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P(A_3)=\\
= p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3. \qquad (5)
$$
Желающие потренироваться в выводе формул могут на этом этапе самостоятельно попытаться выписать вероятности для 2 и 3 попаданий (соответственно, $P_2$ и $P_3$), и сравнить с теми формулами, что я приведу ниже: $$ P_2 = P(X_2)= \\ = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P(A_1)\cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P(A_3) + P\left(\overline{A_1} \right) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (6) $$ $$ P_3 = P(X_3)= P(A_3) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (7) $$
Теперь, вооружившись формулами до зубов, снова возвращаемся к задачнику и решаем примеры буквально в одну строчку (конечно, если вы оформляете эти работы для сдачи преподавателю, используйте в решении и вывод формул, приведенный выше).
Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?
Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи: $$ p_1=0,2, \quad p_2=0,3, \quad p_3=0,4, \quad q_1=0,8, \quad q_2=0,7, \quad q_3=0,6 $$ Получаем: $$ P_1 = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3=\\ = 0,2 \cdot 0,7\cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,452. $$
Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.
Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи: $$ p_1=0,8, \quad p_2=0,7, \quad p_3=0,5, \quad q_1=0,2, \quad q_2=0,3, \quad q_3=0,5 $$ Получаем: $$ P_2 = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = \\ = 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,5 = 0,47. $$
Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.
Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.
Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события $A$ = (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие $\overline{A}$ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения: $$ p_1=0,8, \quad p_2=0,7, \quad p_3=0,9, \quad q_1=0,2, \quad q_2=0,3, \quad q_3=0,1 $$ Получаем: $$ P\left(\overline{A} \right) = P_0 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,1 = 0,006. $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = 1 - P\left(\overline{A} \right) = 1 - 0,006 = 0,994. $$
Задачи на формулу Бернулли
Когда я писала первый вариант статьи, этого раздела не было. Но ведь задачи, когда выстрелы попадают в цель с одинаковой вероятностью, встречаются весьма и весьма часто и фактически являются частным и более простым случаем разобранных выше. Так что перед вами дополнительный раздел, надеюсь, он окажется полезным:).
Итак, вернемся к нашим стрелкам. Теперь будем считать, что вероятность попадания в цель при каждом выстреле одинакова и равна $p$, число выстрелов равно $n$ и конечно, как и прежде, выстрелы попадают в цель независимо друг от друга. Хм... Что-то знакомое? Конечно! Это схема независимых повторных испытаний, иначе говоря, схема Бернулли.
Ну вот, скажете вы, только научились решать одним способом, и тут на тебе, "схема Бернулли"!
А я отвечу, что в ней как минимум пара преимуществ:
- нужно запомнить всего одну формулу вместо нескольких (см. выше)
- теперь количество стрелков может быть не только 2, 3 или 4 (что уже громоздко), а практически любое - 5, 10, 12...
Пора приступать. Сначала сама формула, а потом разберем несколько примеров для закрепления пройденного:).
Пусть производится $n$ выстрелов, вероятность попадания в цель каждом из которых равна $p$. Вероятность, что окажется в точности $k$ попаданий, можно вычислить по формуле Бернулли: $$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}. $$
Пример 7. Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна $p=0,8$. Найти вероятность того, что:
1) Стрелок попадёт 3 раза
2) Стрелок попадёт не менее 3-ёх раз.
Вот она, типовая задача на формулу Бернулли. Наши параметры: $n=4$ (число выстрелов), $p=0,8$ (вероятность попадания при одном выстреле), $q=1-p=0,2$ (вероятность промаха).
1) Вероятность того, что стрелок попадёт 3 раза:
$$ P_4(3)=C_4^3 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^{4-3} = 4 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2 =0,41. $$2) Вероятность того, что стрелок попадёт не менее 3-ёх раз из 4 (то есть или 3, или 4 раза - складываем вероятности соответствующих событий):
$$ P_4(k \ge 3) =P_4(3) + P_4(4)=0,41+ C_4^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^{0} = 0,41+0,8^4 =0,819. $$И это все! Проще некуда, но не забывайте, что задачи разные, где-то формула Бернулли подходит (повторяем: вероятности одинаковые, события независимые и повторные), а где-то - нет (как в разобранных в начале этой статьи задачах).
Пример 8. Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность выбивания не менее 20 очков при десяти выстрелах.
И опять проверяем выполнение условий схемы Бернулли: вероятности одинаковые (да, $p=0,2$), выстрелы независимые, число выстрелов задано ($n=10$).
Сформулируем вопрос задачи математически: что значит выбито не менее 20 очков? Это значит, что в 10 выстрелах было не менее 2 попаданий в цель (то есть 2, 3, 4,..., 10). Что-то многовато...
В таком случае проще подсчитать сначала вероятность противоположного события: "В 10 выстрелах было менее 2 попаданий в цель" (то есть 0 или 1). Вот тут полегче, давайте посчитаем:
$$ P_{10}(k \lt 2) =P_{10}(0) + P_{10}(1)=C_{10}^{0} \cdot 0,2^{0} \cdot 0,8^{10}+ C_{10}^{1} \cdot 0,2^{1} \cdot 0,8^{9} =\\ =0,8^{10}+ 10 \cdot 0,2 \cdot 0,8^{9} =0,376. $$Тогда искомая вероятность выбить не менее 20 очков будет:
$$ P_{10}(k \ge 2) =1-P_{10}(k \lt 2)=1-0,376=0,624. $$Пригодится: онлайн калькулятор для таких задач
Другие задачи про выстрелы и попадания
Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением. Задачи из существенно других разделов (например, на формулу Байеса или построение ряда распределения случайной величины) будут разобраны в других статьях.
Пример 9. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?
Требуется найти вероятность события $A$ = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие $\overline{A}$ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель как $p=0,7$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p=0,3$, то вероятность всех пяти промахов будет $$ P\left(\overline{A} \right) = q^5 = 0,3^5. $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = 1 - P\left(\overline{A} \right) = 1 - 0,3^5 = 0,998. $$
Общий случай: как найти вероятность наступления хотя бы одного события
Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.
Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как $p_1$ и $p_2$, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений: $$ P_2 = p_1 \cdot p_2 = 0,42;\\ P_0 = (1-p_1) \cdot (1-p_2) = 0,12.\\ $$ Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: $p_1 = 0,6$ и $p_2 = 0,7$ (или наоборот, $p_1 = 0,7$ и $p_2 = 0,6$).
Пример 11. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Если обозначить вероятность попадания в цель как $p$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p$, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна $q^4$, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах - $1-q^4$. Получаем уравнение: $$ 1-q^4=0,9984;\\ q^4=0,0016;\\ q=0,2;\\ p=1-q=0,8. $$ Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.
Пример 12. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.
Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_1=0,8$), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_2=0,7$). По правилу умножения вероятностей $$ P = p_1 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,7 = 0,3136. $$
Полезная информация
Решебник по вероятности
В решебнике вы найдете более 1000 задач о выстрелах и попаданиях с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
