Учебник по теории вероятностей
1.3. Геометрическое определение вероятности
Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие A – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G.
Если для простоты считать, что все точки G «равноправны» (выбор точек равномерен внутри области), то вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.
Геометрическая вероятность события А определяется отношением: $$ P(A)=\frac{m(A)}{m(G)}, $$ где $m(G)$, $m(A)$ – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов $G$ и события $А$ соответственно.
Чаще всего, в одномерном случае речь будет идти о длинах отрезков, в двумерном - о площадях фигур, в трехмерном - об объемах тел.
При этом, некоторые задачи сразу имеют геометрическую интерпретацию (первый пример), а другие выглядят как задачи "про жизнь", самая распространенная из них - задача о встрече (второй пример).
Основная сложность при решении задач такого типа - построить математическую модель эксперимента, нужным образом выбрать пространство элементарных исходов, обозначить событие, выразить его математически как некоторую область. К сожалению, единого рецепта решения подобых заданий нет, нужно "набить" руку на разных задачах (см. примеры тут, например).
Примеры решений на геометрическую вероятность
Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной $2d$, расстояние между осевыми линиями которых равно $2D$, наудачу брошен круг радиуса $r$ ($r+d\lt D$). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.
Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние $x$ от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы (ее обозначим за 0). Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок, равный половине расстояния между осями полос $G=\{x: 0\le x \le D\}$. Его мера - это длина отрезка, то есть $m(G)=D$.
Рассмотрим теперь случаи, благоприятствующие событию $A$ = (Круг пересечет полосу), и найдем меру соответствующей области точек. На чертеже выше покажем различные варианты выпадения круга.
Пересечение круга с полосой очевидно произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу (точнее, ее половину), т.е. координата центра круга удовлетворяет неравенству $0 \le x \le d$, длина этого отрезка $d$.
Также круг пересечет полосу, если его центр будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус (если равен радиусу - круг коснется полосы, если больше - то отстоит от полосы), т.е. когда $d \le x \le d+r$ (длина этого отрезка $r$).
Тогда вероятность события $A$ по геометрическому определению вероятности: $$ P(A)=\frac{d+r}{D}. $$
Пример. Два человека договорились встретиться в определенном месте от 17 до 18 часов. При этом каждый обязался после прихода на место встречи ожидать другого 30 минут. Какова вероятность встречи этих людей, если каждый из них равновозможно придет в течение указанного интервала времени?
Решение. Обозначим моменты прихода первого и второго человека за $x$ и $y$. Так как они приходят в промежуток длительности 60 минут (от 17 до 18 часов), то справедливы следующие условия: $0 \le x \le 60$ и $0 \le y \le 60$.
Рассмотрим прямоугольную систему координат $xOy$. В этой системе координат всем возможным значениям времени прихода людей соответствуют точки квадрата со стороной 60.
Лица встретятся, если один человек придет раньше, чем уйдет другой, то есть если $y \lt x+30$, когда $y \gt x$ (второй пришел позже первого, но не позже чем через 30 минут от него) и $x \lt y+30$, когда $y \lt x$ (первый пришел позже второго, не но позже чем через 30 минут).
Более компактно запишем условия $$ x \lt y \lt x+30 \quad \text{ или } \quad x-30 \lt y \lt x. \quad (*) $$
Построим прямые $y=x$, $y=x-30$, $y=x+30$ и закрасим область, лежащую внутри квадрата, точки которой удовлетворяют условиям (*). Точки этой фигуры (серый шестиугольник в центре) являются благоприятствующими событию $A$ =(люди встретятся).
Тогда искомая вероятность встречи по геометрическому определению вероятности равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата: $$ P=\frac{60^2-1/2\cdot 30^2-1/2\cdot 30^2}{60^2}=\frac{3600-900}{3600}=\frac{3}{4}=0,75. $$
Полезные ссылки
- Далее: Сложение и умножение вероятностей
- Назад: Классическое определение вероятности
- Формулы по теории вероятностей
- Статьи по теории вероятностей
