Решения задач на теоремы Лапласа
На этой странице вы найдете решения типовых задач по теории вероятностей на использование теорем Лапласа (интегральной и локальной, еще их называют формулами Муавра-Лапласа) и их следствия.
Данные приближенные формулы применяются, когда мы по-прежнему решаем задачи схемы независимых испытаний Бернулли (примеры тут), но речь идет уже об очень большом числе испытаний (стандартные условия $n>100$, $np>20$). Непосредственные вычисления по формуле Бернулли трудоемки, и мы прибегаем к удобным и простым теоремам Муавра-Лапласа.
Формулы Муавра-Лапласа
Рассмотрим $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью $p$. Тогда при больших $n$ вероятности можно вычислять по приближенным формулам Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что событие наступит в точности $k$ раз, можно вычислить по формуле (локальная теорема Лапласа):
$$ P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi \left( \frac{k-np}{\sqrt{npq}} \right) . $$Значения функции $\phi (x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ берутся из таблиц.
Вероятность того, что событие наступит от $k_1$ до $k_2$ раз, можно вычислить по формуле (интегральная теорема Лапласа):
$$ P(k_1 \le X \le k_2) \approx \Phi \left( \frac{k_2-np}{\sqrt{npq}} \right) - \Phi \left( \frac{k_1-np}{\sqrt{npq}} \right) $$Здесь $\Phi(x)$ — нормированная функция Лапласа (ее значения берутся из таблиц)
$$\Phi (x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-z^2/2}dz$$Еще теорию по этой теме вы найдете в онлайн-учебнике.
Примеры решений
Локальная теорема Лапласа
Задача 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
Задача 2. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна $р$. Найти вероятность, что за смену откажут $m$ элементов.
$р=0,024, m=6$.
Задача 3. На конвейер за смену поступает 300 изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна 0,75. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно 240.
Задача 4. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8 Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 75 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.
Задача 5. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что цифра 1 при этом выпадет 50 раз?
Интегральная теорема Лапласа
Задача 6. В жилом доме имеется $n$ ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между $m1$ и $m2$.
Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди $n$ и его соответствующую вероятность.
$n = 6400, m1 = 3120, m2 = 3200$.
Задача 7. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
Задача 8. Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Произведено 500 деталей. Какое число годных деталей вероятнее получить: а) менее 390; б) от 390 до 410?
Задача 9. Стоматологическая клиника распространяет рекламные листовки у входа в метро. Опыт показывает, что в одном случае из тысячи следует обращение в клинику. Найти вероятность того, что при распространении 50 тыс. листков число обращений будет:
А) равно 41,
Б) находиться в границах от 36 до 47.
Задача 10. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.
Решебник по теории вероятностей
Тысячи решенных и оформленных задач на формулу Лапласа и другие темы:
