Характеристическая функция случайной величины

Для случайной величины $\xi$ характеристическая функция (ХФ) определяется следующим образом:

$$ \phi_{\xi}(t)=M[e^{i t\xi}]. $$

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_k,p_k)$ характеристическая функция выражается как

$$\phi_{\xi}(t)=M[e^{i t\xi}]=\sum_k e^{i t x_k}\cdot p_k.$$

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

$$\phi_{\xi}(t)=M[e^{i t\xi}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\cdot f(x)\,dx.$$

Характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

По известной характеристической функции можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

$$M[\xi^n] = \frac{1}{i^n} \cdot\frac{d^n}{dx^n} \phi_{\xi}(t)|_{t=0}. $$

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. ХФ суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций (это свойство используется для доказательства композиционной устойчивости, например в примере 3 для нормального распределения). ХФ существует всегда, непрерывна, ограничена ($|\phi_{\xi}(t)| \le 1$), в нуле равна единице.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения характеристической функции и моментов для разных законов распределения.

Примеры решений: характеристическая функция

Задача 1. По заданному закону или плотности распределения случайной величины $\xi$ найти характеристическую функцию $\phi(t)$.
Закон Пуассона: $$P(\xi=k)=a^k/k!\cdot e^{-a}, k=1,2,... a=0.38$$

Задача 2. По заданному закону распределения найти характеристическую функцию $\phi(t)$, кумулянтную функцию $\gamma(t)$ и первые четыре семиинварианта этого распределения.
Биномиальный закон (Бернулли)

$$P(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, 0 \lt p \lt 1, k=0,1,2,...,n.$$

Задача 3. С помощью характеристических функций, доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Указать параметры этого распределения.

Задача 4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х, подчиняющейся закон распределения Паскаля $P(X=m)=a^m/(1+a)^{m+1} (a\gt 0)$. По ней найти $M[X]$ и $D[X]$.

Задача 5. Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения $p_{\xi}(x)=e^{-|x|}/2.$