Решение задач про выбор деталей

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.

*Поясню, что значит "примерно": вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "стандартными", второй - "бракованными" и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.

Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных - $C_{N-K}^{n-k}$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию - $C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}$.

Применяя классическое определение вероятности - поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:

$$ P=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \qquad (1) $$

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе деталей/изделий

Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ - общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_{12}^4$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 - стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.

Нужная вероятность равна:

$$ P(A)=\frac{m}{n}=\frac{C_{5}^2 \cdot C_{7}^{2}}{C_{12}^4} = \frac{10 \cdot 21}{495} = 0.424. $$

Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=16$ стандартных деталей, $N-K=7$ бракованных деталей, итого $N=16+7=23$ всего деталей в ящике. Из ящика извлекают $n=6$ деталей, из них должно быть $k=4$ стандартных и соответственно, $n-k=6-4=2$ бракованные. Получаем нужную вероятность:

$$ P=\frac{C_{16}^4 \cdot C_{7}^{2}}{C_{23}^6} = \frac{1820 \cdot 21}{100947} = 0.379. $$

Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.

Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline{A} = $ (Все три выбранные изделия стандартные).

Будем искать вероятность события $\overline{A}$. Выпишем значения параметров: $K=8$ стандартных изделия, $N-K=12-8=4$ нестандартных изделия, всего $N=12$ изделий в партии. Из партии извлекают $n=3$ изделия, и все они должны оказаться стандартными, то есть $k=3$ и $n-k=0$.

$$ P(\overline{A})=\frac{C_{8}^3 \cdot C_{4}^{0}}{C_{12}^3} = \frac{56 \cdot 1}{220}= \frac{14}{55} = 0.255. $$

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:

$$ P(A)= 1 - P(\overline{A})= 1- 0.255 = 0.745. $$

Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=8-3=5$ годных деталей, $N-K=3$ бракованных, $N=8$ всего деталей у мастера. Выбираем для замены $n=2$ детали, и обе они должны оказаться годными, то есть: $k=2$, $n-k=0$. Приходим к ответу:

$$ P=\frac{C_{5}^2 \cdot C_{3}^{0}}{C_{8}^2} = \frac{10 \cdot 1}{28} = \frac{5}{14} = 0.357. $$

Полезные ссылки

• Онлайн учебник по теории вероятностей
• Еще примеры решений задач по теории вероятностей
• Заказать решение теории вероятностей

Поищите готовые задачи в решебнике: