МатБюро Примеры решений Математика Теория вероятностей Двумерная ДСВ

Двумерная дискретная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной дискретной случайной величины. Но бывает, что результат испытания описывается не одной, а несколькими случайными величинами (случайным вектором).

В случае двух величин (скажем, $X$ и $Y$) мы имеем дело с так называемой двумерной дискретной случайной величиной $(X,Y)$ (или системой случайных одномерных величин). Кратко выпишем основы теории.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Система двух случайных величин: теория

Двумерная ДСВ задается законом распределения (обычно представленным в виде таблицы распределения):

$$ P(X=x_i, Y=y_k)=p_{ik}, i=1,2,...,m; k=1,2,...,n; \quad \sum_{i,k}p_{ik}=1. $$

По нему можно найти одномерные законы распределения (составляющих):

$$ p_i=P(X=x_i)=\sum_{k}p_{ik}, i=1,2,...,m; \\ p_k=P(Y=y_k)=\sum_{i} p_{ik}, k=1,2,...,n. $$

Интегральная функция распределения задается формулой $F(x,y)=P(X\lt x, Y\lt y)$. Даже для самого простого закона распределения 2 на 2 функция занимает 5 строк, поэтому ее редко выписывают в явном виде.

Если для любой пары возможных значений $(X=x_i, Y=y_k)$ выполняется равенство

$$P(X=x_i, Y=y_k)=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_k),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми.

Если случайные величины зависимы, для них можно выписать условные законы распределения (для независимых они совпадают с безусловными законами):

$$ P(X=x_i| Y=y_k)=\frac{P(X=x_i, Y=y_k)}{P(Y=y_k)},\\ P(Y=y_k| X=x_i)=\frac{P(X=x_i, Y=y_k)}{P(X=x_i)}. $$

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

$$ cov (X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y), \quad r_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}. $$

Далее вы найдете разные примеры задач с полным решением, где используются дискретные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Решим ваши задания подробно

Примеры решений

Задача 1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта В - 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X - индикатор дефекта А, a Y - индикатор дефекта В. Составить матрицу распределения двумерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и У и исследовать их зависимость.

Решение задачи об индикаторах дефектов

Задача 2. Два баскетболиста по два раза бросают мяч в корзину. При каждом броске вероятность попадания для первого баскетболиста 0,6, для второго – 0,7. Случайная величина X – число попаданий первым баскетболистом по кольцу. Случайная величина Y – суммарное число попаданий обоими баскетболистами. Построить таблицу распределения случайного вектора (X,Y). Найти характеристики вектора (X,Y). Зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Решение задачи о баскетболистах

Задача 3. Слово РОССИЯ разрезано по буквам. Случайным образом вынимаем две буквы, тогда X – количество гласных среди них, затем вынимаем еще две буквы и Y – количество гласных во второй паре. Составить закон распределения системы случайных величин X, Y.

Решение задачи о распределении системы случайных величин

Задача 4. $X, Y$ - индикаторы событий $A, B$, означающий положительные ответы соответственно на вопросы $\alpha, \beta$ социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина $(X,Y)$ имеет следующую таблицу распределения.
Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.
Найти коэффициент корреляции $\rho_{XY}$.

Решение задачи об индикаторах событий

Задача 5. Составить закон распределения X - сумм очков и Y - числа тузов при выборе двух карт из колоды, содержащей только тузов, королей и дам (туз=11, дама=3, король=4)
Найти законы распределения величин Х и Y. Зависимы ли эти величины? Написать функцию распределения для (Х, Y). Построить ковариационный граф. Посчитать ковариацию (X,Y). Написать ковариационную матрицу. Посчитать корреляцию (X,Y) и написать корреляционную матрицу.

Решение задачи об исследовании случайных величин

Задача 6. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайная величина X равна 1, если сумма выпавших чисел четна, и равна 0 в противном случае. Случайная величина Y равна 1, если произведение выпавших чисел четно, и 0 в противном случае. Описать закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти D[X], D[Y] и cov[X,Y].

Решение задачи об игральных костях

Задача 7. В урне лежат 100 шаров, из них 25 белых. Из урны последовательно вынимают два шара. Пусть $X_i$ – число белых шаров, появившихся при $i$-м вынимании. Найти коэффициент корреляции между величинами $X_1$ и $X_2$.

Решение: коэффициент корреляции для системы случайных величин

Задача 8. Для заданного закона распределения вероятностей двухмерной случайной величины (Х, Y):
Y\X 2 5
8 0,15 0,10
10 0,22 0,23
12 0,10 0,20
Найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y.

Решение: корреляция для двумерной случайной величины

Задача 9. Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y).
А) найти безусловные законы распределения составляющих;
Б) построить регрессию случайной величины Y на X;
В) построить регрессию случайной величины X на Y;
Г) найти коэффициент ковариации;
Д) найти коэффициент корреляции.
20 30 40 50 70
3 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01
4 0,04 0,3 0,06 0,03 0,01
5 0,02 0,03 0,06 0,07 0,05
9 0,05 0,03 0,04 0,02 0,03
10 0,03 0,02 0,01 0,01 0,02

Решение задачи: исследование двумерной дискретной СВ

Задача 10. Система (x, y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей. Определить:
А) безусловные законы распределения составляющих;
Б) условный закон распределения y при x=1;
В) условное математическое ожидание x при y=2.
Г) вероятность того, что случайная величина (x,y) будет принадлежать области $|x|+|y|\le 3$.
-3 0 2
-1 0 0,1 0,15
1 0,05 0,3 0,05
2 0,15 0,05 0,15

Решение задачи по двумерной таблице распределения вероятностей

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Присылайте — оценим!