Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям
Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.
Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать - это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.
В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам - изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям
Как решить дифференциальное уравнение онлайн?
Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?
У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.
Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.
Если вы забьете в поисковик что-то вроде "решить дифференциальное уравнение онлайн", то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.
Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.
Выводы? Бесплатно и полно и онлайн - не бывает. Хотите получать полные решения - используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы - там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!
Общий интеграл, семейство кривых
Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$
Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$
Решения дифференциальных уравнений 1 порядка
Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy'+x^2+xy-y=0.$
Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y'=-y/x \quad (x \ne 0).$
Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$
Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$
Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y'-2xy=3x^2-2x^4.$
Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y'=y-1.$
Решение задачи Коши для ДУ
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.
Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y'' +1 =(y')^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.
Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y'= \frac{2y-x}{2x+y}, y(1)=1. $$
Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y'''=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=0. $$
Решения дифференциальных уравнений 2 порядка
Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y''+4y'+4y=xe^{2x}.$
Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y''-3y'=\frac{9e^{-3x}}{3+e^{-3x}}, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$
Cоставление дифференциальных уравнений
Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?
Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На
полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
Решения нелинейных дифференциальных уравнений
Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 {y'}^2 -2xyy'+2y^2-x^2=0.$
Задача 18. Решить дифференциальное уравнение ${y'}^2-4xyy'+8y^2=0.$
