Онлайн вычисления: формула полной вероятности и Байеса
В этом разделе мы приведем общие сведения: формулу полной вероятности и формулу Байеса
Далее разберем несколько типовых задач по этой теме, выбрав самые распространенные задачи (про стрелков, шары и урны, заводы и детали). В каждом из случаев вероятности, вхощие в формулу (вероятности гипотез и условные вероятности наступления события) могут быть как напрямую заданы, так и вычисляться - просто или сложно, с использованием других формул теории вероятностей.
И, наконец, вы сможете с помощью онлайн-калькулятора произвести расчеты автоматически для случая известных входных вероятностей.
Формулировки и формулы
Приведем математическую терминологию, которая потребуется для решения задач по этой теме.
Рассмотрим некоторое событие $A$ , которое может произойти только при при выполнении одного из событий $H_1, H_2, ..., H_n$, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события $A$ вычисляется по формуле
$$ P(A)=\sum\limits_{i=1}^n P(H_i)\cdot P(A|H_i)=\\= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)+...P(H_n)\cdot P(A|H_n). $$Эта формула называется формулой полной вероятности. Итак, зная вероятности гипотез $P(H_1), P(H_2), ..., P(H_n)$ и условные вероятности наступления события $A$ при выполнении каждой из гипотез $P(A|H_1), P(A|H_2), ..., P(A|H_n)$, мы можем найти искомую вероятность события $P(A)$.
Если событие $A$ уже произошло, то это может изменить (переоценить) вероятности гипотез следующим образом (формула Байеса):
$$ P(H_i|A)=\frac{ P(H_i)\cdot P(A|H_i)}{P(A)}. $$ Вероятности гипотез $P(H_i|A)$ называются апостериорными вероятностями, тогда как $P(H_i)$ - априорными вероятностями.Онлайн-калькулятор
Выберите число гипотез $n$:
Введите вероятности в виде простых или десятичных дробей (например, 1/4 или 0.25):
Ниже мы разберем типовые задачи на данные формулы, поясним, как находить решение вручную и (в конце) с помощью калькулятора.
Типы задач на полную вероятность
Задачи про детали, станки и заводы
Пример 1. На сборку поступают однотипные детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50%, второе – 30% и третье – остальное количество. Вероятность появления брака для первого, второго и третьего поставщиков соответственно равны 0,05; 0,1 и 0,15. Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того, что брак произошел по вине первого предприятия.
Рассмотрим группу гипотез, которые можно ввести для этой задачи:
$H_1$ = (Деталь для контроля поступила с первого предприятия),
$H_2$ = (Деталь для контроля поступила со второго предприятия),
$H_3$ = (Деталь для контроля поступила с третьего предприятия).
Вероятности гипотез известны из условия:
$$P(H_1)=50\%=0,5; P(H_2)=30\%=0,3;\\ P(H_3) = 1-P(H_1)-P(H_2)=1-0,5-0,3=0,2.$$Введем событие $A$ =(Выборочный контроль обнаружил брак в детали). Условные вероятности даны: $$P(A|H_1)=0,05; P(A|H_2)=0,1; P(A|H_3)=0,15.$$
Сначала найдем вероятность того, что выборочный контроль обнаружил брак по формуле полной вероятности:
$$ P(A)= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)+P(H_3)\cdot P(A|H_3)=\\ = 0,5\cdot 0,05+ 0,3\cdot 0,1+0,2\cdot 0,15=0,085. $$Вероятность того, что деталь выпущена на первом предприятии, если она оказалось бракованной (вероятность $P(H_1|A)$) найдем по формуле Байеса:
$$ P(H_1|A)=\frac{ P(H_1)\cdot P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{ 0,5\cdot 0,05}{0,085}=0,294 $$Ответ: 0,294. Несмотря на то, что первое предприятие поставляет половину всех деталей, вероятность получить брак от него всего 29,4% (оттого, что доля брака на этом предприятии самая маленькая).
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные: 0,5, 0,3, 0,2 и 0,05, 0,1, 0,15.
Пример 2. Вероятность появления брака на первом станке равна 0,02; на втором – 0,01, на третьем – 0,03. Производительность первого станка вдвое больше производительности третьего, а производительность второго станка в 4 раза больше производительности первого станка. Детали, изготовленные на трех этих станках, хранятся на одном складе. Кладовщик взял наудачу одну деталь, она оказалась бракованной. На каком из станков вероятнее всего она была изготовлена?
Выпишем группу гипотез задачи:
$H_1$ = (Деталь изготовлена на первом станке),
$H_2$ = (Деталь изготовлена на втором станке),
$H_3$ = (Деталь изготовлена на третьем станке).
В этой задачи вероятности гипотез неизвестны. Вычислим их по классическому определению вероятности, используя данные о производительности каждого из станков. Пусть третий станок производит $x$ деталей, тогда первый станок производит $2x$ деталей, а второй - $8x$ деталей, всего $11x$ деталей. Получаем вероятности (отношение числа деталей изготовленных на данном станке к общему числу деталей):
$$P(H_1)=\frac{2x}{11x}=\frac{2}{11}; P(H_2)=\frac{8x}{11x}=\frac{8}{11}; P(H_3) = \frac{x}{11x}=\frac{1}{11}.$$Введем событие $A$ =(Деталь бракованная). Условные вероятности даны: $$P(A|H_1)=0,02; P(A|H_2)=0,01; P(A|H_3)=0,03.$$
Сначала найдем вероятность события $A$:
$$ P(A)= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)+P(H_3)\cdot P(A|H_3)=\\ = \frac{2}{11}\cdot 0,02+ \frac{8}{11}\cdot 0,01+\frac{1}{11}\cdot 0,03=\frac{3}{220}. $$Теперь найдем апостериорные вероятности того, что деталь изготовлена на первом (втором, третьем) станке, если она оказалась бракованной, используя формулу Байеса:
$$ P(H_1|A)=\frac{ P(H_1)\cdot P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{ \frac{2}{11}\cdot 0,02}{\frac{3}{220}}=0,267 $$ $$ P(H_2|A)=\frac{ P(H_2)\cdot P(A|H_2)}{P(A)}=\frac{ \frac{8}{11}\cdot 0,01}{\frac{3}{220}}=0,533 $$ $$ P(H_3|A)=\frac{ P(H_3)\cdot P(A|H_3)}{P(A)}=\frac{ \frac{1}{11}\cdot 0,03}{\frac{3}{220}}=0,2 $$Ответ: Наибольшая вероятность 0,533. Таким образом, вероятнее всего что бракованная деталь была изготовлена на втором станке.
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные: 0,182, 0,727, 0,091 и 0,02, 0,01, 0,03.
Задачи про выстрелы и винтовки
Пример 3. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки.
Выпишем группу гипотез задачи, их будет целых пять:
$H_1$ = (Выбрана первая винтовка),
$H_2$ = (Выбрана вторая винтовка),
$H_3$ = (Выбрана третья винтовка),
$H_4$ = (Выбрана четвертая винтовка),
$H_5$ = (Выбрана пятая винтовка).
Поскольку выбор каждой винтовки равновозможен, вероятности гипотез одинаковы:
$$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=P(H_4)=P(H_5) =\frac{1}{5}=0,2.$$Введем событие $A$ =(Стрелок попал в мишень). Условные вероятности известны: $$P(A|H_1)=0,5; P(A|H_2)=0,6; P(A|H_3)=0,7; P(A|H_4)=0,8; P(A|H_5)=0,9.$$
Тогда вероятность события $A$ вычисляется по формуле полной вероятности:
$$ P(A)= \sum\limits_{i=1}^5 P(H_i)\cdot P(A|H_i)= 0,2 \cdot (0,5+0,6+0,7+0,8+0,9)=0,7 $$Ответ: Вероятность попадания в мишень 0,7 или 70%.
Пример 4. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое с вероятностью 0,4. Что вероятнее: попадёт в цель на удачу выбранный стрелок, или нет?
Введем полную группу гипотез:
$H_1$ = (Выбран стрелок, который попадает в цель с вероятностью 0,6),
$H_2$ = (Выбран стрелок, который попадает в цель с вероятностью 0,4).
Так как стрелков первой группы двое, второй группы трое (всего пятеро), то вероятности гипотез:
$$P(A|H_1)=\frac{2}{5}=0,4; P(A|H_2)=\frac{3}{5}=0,6.$$Введем событие $A$ =(Стрелок попал в цель). Условные вероятности известны: $P(H_1)=0,6; P(H_2)=0,4$
Тогда вероятность события $A$ найдем по формуле полной вероятности:
$$ P(A)= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)= 0,4 \cdot 0,6+0,6 \cdot 0,4=0,48. $$Вероятность того, что стрелок не попадет в цель равна $1-0,48=0,52$, то есть вероятность того, что стрелок не попадет в цель больше.
Ответ: Вероятнее, что стрелок не попадет в цель.
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные: 0,4, 0,6 и 0,6, 0,4.
Пример 5. Три стрелка стреляют в цель с вероятностями 0,7; 0,4; 0,3. При одновременном выстреле имеется два попадания. Что вероятнее: попал третий стрелок в цель или промахнулся?
Введем гипотезы:
$H_1$ = (Третий стрелок попал в цель),
$H_2$ = (Третий стрелок промахнулся).
Вероятности равны по условию $P(H_1)=0,3; P(H_2)=1-0,3=0,7.$
Введем событие $A$ =(Два стрелка попали в цель). Найдем условные вероятности.
$A|H_1$ - два стрелка попали в цель, причем один из них третий стрелок, то есть или первый стрелок попал, а второй не попал, или второй стрелок попал, а первый не попал:
$$P(A|H_1)=0,7 \cdot (1-0,4)+(1-0,7) \cdot 0,4=0,54. $$$A|H_2$ - два стрелка попали в цель, причем третий стрелок не попал в цель, то есть первый и второй стрелок попали в цель:
$$P(A|H_2)=0,7 \cdot 0,4=0,28. $$Вероятность события найдем по формуле полной вероятности
$$ P(A)= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)= 0,3 \cdot 0,54+0,7 \cdot 0,28=0,358. $$Найдем апостериарные вероятности
$$ P(H_1|A)=\frac{ P(H_1)\cdot P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{ 0,3\cdot 0,54}{0,358}=0,453 $$ $$ P(H_2|A)=\frac{ P(H_2)\cdot P(A|H_2)}{P(A)}=\frac{ 0,7\cdot 0,28}{0,358}=0,547 $$Ответ: Таким образом, если было два попадания, вероятнее, что третий стрелок промахнулся.
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные: 0,3, 0,7 и 0,54, 0,28.
Задачи про шары, урны и ящики
Пример 6. Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Прежде всего, введем полную группу гипотез:
$H_1$ = (Из первой урны во вторую переложено 2 белых шара),
$H_2$ = (Из первой урны во вторую переложено 1 белый шар и 1 черный шар),
$H_3$ = (Из первой урны во вторую переложено 2 черных шара).
Вероятности гипотез не заданы и требуют специальных расчетов (по формуле гипергеометрической вероятности):
$$P(H_1)=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}, P(H_2)=\frac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}, P(H_3)=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$$Введем событие $A$= (Из второй урны выбран белый шар). Найдем априорные условные вероятности по классическому определению вероятности (отношение числа белых шаров в урне к общему числу шаров).
Гипотеза $H_1$. Во второй урне станет 4+2=6 белых и 4 черных шаров, поэтому $P(A|H_1)=6/10$.
Гипотеза $H_2$. Во второй урне станет 4+1=5 белых и 4+1=5 черных шаров, поэтому $P(A|H_2)=5/10$.
Гипотеза $H_3$. Во второй урне станет 4 белых и 4+2=6 черных шаров, поэтому $P(A|H_3)=4/10$.
Вероятность события $A$ найдем по формуле полной вероятности:
$$ P(A)= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)+P(H_3)\cdot P(A|H_3)=\\ = \frac{3}{10}\cdot\frac{6}{10}+ \frac{6}{10}\cdot\frac{5}{10}+ \frac{1}{10}\cdot\frac{4}{10}=\frac{52}{100}=0,52. $$Ответ: 0,52.
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные: 0,3, 0,6, 0,1 и 0,6, 0,5, 0,4.
Пример 7. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 3 белых и 20 черных; во втором – 5 белых и 16 черных; в третьем – 9 белых и 10 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар черного цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из второго ящика?
Прежде всего, введем основное событие $A$ = (Вынутый шар - черного цвета), и группу гипотез:
$H_1$ = (Шар вынут из первого ящика),
$H_2$ = (Шар вынут из второго ящика),
$H_3$ = (Шар вынут из третьего ящика).
Так как ящики одинаковы, выбор каждого равновозможен. Поэтому вероятности гипотез в этом случае выписываются сразу:
$$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3) = 1/3.$$Условные вероятности вычислим по классическому определению вероятности - как отношение числа черных шаров в ящике общему числу шаров. В первом ящике 3 белых и 20 черных шаров, всего 23 шара, поэтому $P(A|H_1)=20/23$. Аналогично находим $P(A|H_2)=16/21$, $P(A|H_3)=10/19$.
Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:
$$ P(A)= P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)+P(H_3)\cdot P(A|H_3)=\\ = \frac{1}{3}\cdot\frac{20}{23}+ \frac{1}{3}\cdot\frac{16}{21}+ \frac{1}{3}\cdot\frac{10}{19}=\frac{19802}{27531}=0,719. $$Теперь найдем вероятность того, что шар вытащен из второго ящика (гипотеза $H_2$), если он оказался черным (событие $A$), то есть вероятность $P(H_2|A)$, по формуле Байеса:
$$ P(H_2|A)=\frac{ P(H_2)\cdot P(A|H_2)}{P(A)}=\frac{ \frac{1}{3}\cdot\frac{16}{21}}{0,719}=0,353 $$Ответ: 0,353.
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные (в десятичных дробях): 0,333, 0,333, 0,333 и 0,87, 0,762, 0,526. Или, как вариант, произвести расчеты в Эксель, который позволяет легкий ввод обыкновенных дробей.
Другие задачи на формулу Байеса
Пример 8. Надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 %. Вероятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1 %. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных 0,1 %. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является больным туберкулезом?
Выпишем полную группу гипотез:
$H_1$ = (Человек здоров),
$H_2$ = (Человек болен туберкулезом).
По условию $P(H_1)=1-0,001=0,999; P(H_2)=0,001$.
Введем событие $A$= (Человек признан больным). Найдем априорные вероятности из условия задачи $P(A|H_1)=1\%=0,01, P(A|H_2)=90\%=0,9$.
Вероятность $P(H_2|A)$ того, что человек болен туберкулезом, если он признан больным при обследовании, найдем по формуле Байеса:
$$ P(H_2|A)= \frac{P(H_2)\cdot P(A|H_2)}{ P(H_1)\cdot P(A|H_1)+P(H_2)\cdot P(A|H_2)} =\\ =\frac{0,001\cdot 0,9)}{ 0,999\cdot 0,01+0,001\cdot 0,9}=0,083. $$Ответ: Таким образом, даже если человека признали больным, вероятность того, что он действительно болен, всего 8,3%. Подробнее об этом парадоксе теоремы Байеса можно почитать тут и посмотреть тут.
Если использовать калькулятор для расчетов, в него надо ввести, соответственно, следующие данные: 0,999, 0,001 и 0,01, 0,9.
