Математический алфавит: от аксиомы до ядра...

А — Аксиома

Исходное утверждение, принимаемое без доказательства.

Пример: "Через две точки можно провести единственную прямую" (аксиома Евклида)

Б — Бином

Двучлен вида a + b.

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k \] (Формула бинома Ньютона)

В — Вектор

Направленный отрезок, имеющий длину и направление.

\[ \vec{v} = (x, y, z) \] (Вектор в трёхмерном пространстве)

Г — Граф

Совокупность вершин и соединяющих их рёбер.

Применение: Моделирование сетей, алгоритмы поиска путей.

Д — Дифференциал

Главная линейная часть приращения функции.

\[ df = f'(x)dx \]

Е — Единичная матрица

Квадратная матрица с единицами на главной диагонали.

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Ё — Ёмкость (в теории меры)

Обобщение понятия размера для сложных структур.

Пример: Ёмкость канторова множества равна \( \frac{\log 2}{\log 3} \).

Источник: Хаусдорф Ф. "Теория меры" (1918)

Ж — Жорданова форма

Канонический вид матрицы в линейной алгебре.

Применение: Анализ линейных операторов.

З — Золотое сечение

Число \( \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \).

\[ \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi \]

И — Интеграл

Операция, обратная дифференцированию.

\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]

Й — Йорданова алгебра

Неассоциативная алгебра, где \( x(yx) = (xy)x \).

Источник: Jordan P. et al. (1934)

К — Квадратное уравнение

Уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \).

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Л — Логарифм

Обратная к возведению в степень функция.

\[ \log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a \]

М — Мнимая единица

Число \( i \), где \( i^2 = -1 \).

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \] (Формула Эйлера)

Н — Неравенство

Соотношение между величинами.

\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \] (Неравенство Коши)

О — Окружность

Множество точек, равноудалённых от центра.

\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]

П — Производная

Скорость изменения функции.

\[ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \]

Р — Ряд

Бесконечная сумма чисел или функций.

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \] (Ряд Тейлора)

С — Синус

Тригонометрическая функция.

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] (Основное тригонометрическое тождество)

Т — Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

У — Уравнение

Равенство с неизвестными.

Пример: \( 2x + 3 = 7 \)

Ф — Фрактал

Геометрическая фигура с бесконечной самоподобной структурой.

Пример: Множество Мандельброта.

Х — Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Ц — Цепная дробь

Выражение вида:

\[ a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \dots}}} \]

Ч — Число π

Отношение длины окружности к диаметру.

\[ \pi \approx 3.1415926535... \]

Ш — Шар

Трёхмерный аналог круга.

Объём: \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

Щ — Щёлкающие последовательности

Последовательности, сходящиеся особым образом.

Источник: Арнольд В.И. "Лекции по математическому анализу" (2000)

Э — Экспонента

Функция \( e^x \), где \( e \approx 2.71828 \).

\[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \]

Ю — Юнитарная группа

Группа унитарных матриц \( U(n) \).

Источник: Weyl H. "The Classical Groups" (1939)

Я — Ядро (линейного оператора)

Множество векторов, которые оператор переводит в ноль.

\[ \ker A = \{ x | Ax = 0 \} \]

Математический алфавит: от А до Я