Примеры решений по векторной алгебре

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

$$X=(-4;4;4), a=(3;1;0), b=(-1;0;6), c=(-1;2;0).$$

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

$$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

$$F=(5;-3;9), A(3;4;-6), B(2;6;5).$$

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 9. Дано $|\bar{a}|=4, |\bar{b}|=6$, $\angle \phi=\pi/6$. Найти:
А) косинус угла между векторами $\bar{a}-2\bar{b}$ и $2\bar{a}-\bar{b}$.
Б) площадь параллелограмма, построенного на векторах $2\bar{a}+\bar{b}$ и $2\bar{a}-\bar{b}$.

Задача 10. Найти вектор $\bar{a}$, если он перпендикулярен векторам $\bar{b}=(1;4;2)$, $\bar{c}=\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}$, и удовлетворяет условию $(\bar{a},\bar{d})=5$, где $\bar{d}=(2;1;3)$.

Задача 11. Написать разложение вектора $\bar{x}$ по векторам $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$.

$$ \bar{x}=(-4;4;4), \bar{a}=(3;1;0), \bar{b}=(-1;0;6), \bar{c}=(-1;2;0). $$

Задача 12. Даны векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$. При каких значениях $m$ эти векторы перпендикулярны?

$$ \bar{a} = 2\bar{i}-3\bar{j}+m\bar{k}, \bar{b}=4\bar{i}+7\bar{j}-6\bar{k}. $$

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\bar{p}$, $\bar{q}$.

$$ \bar{p}=2\bar{a}+3\bar{b}, \bar{q}=3\bar{a}-\bar{b}, |\bar{a}|=1, |\bar{b}|=3, (\bar{a},\bar{b})=\pi/6. $$

Задача 14. Компланарны ли вектора?

$$ \bar{a}=(-3;2;1), \bar{b}=(3;1;2), \bar{c}=(3;-1;4). $$

Задача 15. Найти:
1) Проекцию $\text{пр}_b \overline{AB}$;
2) Площадь треугольника со сторонами, совпадающими с векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$;
3) Смешанное произведение $(\bar{b} \cdot \bar{a} \cdot \overline{AB})$;
4) При каком $\lambda$ векторы $\overline{AB}$ и $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ортогональны?

$$ \bar{a} = 3\bar{i}-\bar{j}+2\bar{k}, \bar{b} = (-1;2;1), A=(0,-2,1), B=(-1,1,3). $$

Задача 16. Найти координаты вектора $\bar{x}$, если известно, что он перпендикулярен векторам $\bar{a}_1=(4,-2,-3)$ и $\bar{a}_2=(0,1,3)$, образует с ортом $\bar{j}$ острый угол и $|\bar{x}|=26$.

Задача 17. Даны векторы $\bar{a}$, $\bar{b}$ и $\bar{c}$. Необходимо:
а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
b) найти модуль векторного произведения;
с) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора;
d) проверить, будут ли компланарны три вектора.

$$ \bar{a} = 2\bar{i}-3\bar{j}+\bar{k}, \bar{b} = \bar{j}+4\bar{k}, \bar{c} = 5\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}.$$ $$ a. \bar{a} \cdot 3\bar{b} \cdot \bar{c};\\ b. |3 \bar{a} \times 2 \bar{c}|;\\ c. \bar{a} \text{ и } \bar{c};\\ d. \bar{a}, 2\bar{b} \text{ и } 3\bar{c}. $$